Фамилия Бержаков образована по одной из самых распространённых в русском языке моделей: от прозвища или имени на шипящий согласный с помощью суффикса принадлежности -ов. Разберём её на составные части. Основа — «Бержак». Суффикс -ак в русских прозвищах часто указывал на человека с характерной чертой, профессией или внешностью: Рыжак, Гуляк, Добряк. Реже — на жителя определённой местности (сибиряк, поляк). В данном случае «Бержак» — скорее всего, прозвище, а не географическое название.

Корень «берж» — самый интересный и неоднозначный элемент. Первая и наиболее вероятная версия: он восходит к диалектному глаголу «бержать» или «бержевать», который в некоторых русских говорах означал «беречь, охранять, экономить». В словаре Владимира Даля есть слово «берёжа» (бережливость) и «берёжь» (осторожность). Соответственно, Бержаком могли прозвать бережливого, осмотрительного хозяина, который не транжирил добро. Прозвища, связанные с хозяйственными качествами, были очень распространены в крестьянской среде.

Вторая версия — связь с глаголом «бередить» (тревожить, трогать больное место) или его диалектным вариантом «бержать». Тогда Бержак — человек, который постоянно «бередит», то есть задевает за живое, докучает. Но эта гипотеза менее убедительна, так как глагол «бередить» редко давал устойчивые прозвища, в отличие от «беречь».

Третья, более редкая версия — иноязычное происхождение. Фамилия может быть русифицированной формой тюркского имени или прозвища, где корень «бер» означает «давать» (ср. Бердыш, Беркут). Но суффикс -ак в таком случае менее характерен для тюркских языков, а окончание -ов однозначно указывает на русскую адаптацию. Если это так, то первоначальное значение могло быть «дающий» или «дар».

Важно отметить: фамилия Бержаков не является ни дворянской, ни купеческой. Она типична для крестьянского и мещанского сословия центральных и, возможно, южных губерний России. Встречается она нечасто, что говорит о локальном происхождении — от прозвища, бытовавшего в одной или нескольких соседних деревнях. Носитель фамилии мог быть крестьянином-хозяином, которого односельчане уважали за бережливость, или, наоборот, человеком с непростым характером. Точную версию можно было бы установить только по архивным записям конкретной губернии.