Фамилия Бержеминская — редкая, с прозрачной, но неочевидной основой. Если отбросить типичный польско-украинский суффикс -ск(ая), указывающий на принадлежность к месту или роду (типичная модель для шляхетских и дворянских фамилий Речи Посполитой), остаётся корень Бержемин-. Здесь сразу два варианта, и ни один не лежит на поверхности.

Первый и самый вероятный: фамилия образована от названия населённого пункта. В Польше и на западе Украины есть несколько мест с похожими названиями — например, Бережмин или Бережница (от слова «берег», «бережок»). В таком случае Бержеминская — это уроженка или владелица поместья Бержемин (или Бержемины). Звуковой переход «е» в «ё» или «о» здесь мог сгладиться при адаптации в русском языке, а «ж» вместо «з» — результат влияния польского произношения (rz читается как «ж»). То есть исходное польское Brzeżmin или Brzeżemie дало бы на слух «Бжежмин», а в русской записи — «Бержемин». Такое искажение при переписи или переходе в другую языковую среду — обычное дело.

Второй вариант, более спорный: фамилия может восходить к прозвищу от французского «berge» (берег) или «bergère» (пастушка). Но это маловероятно. Французские корни в польско-литовской шляхте встречаются, но обычно они фиксируются в написании без «ж» (Berge, Bergier). А здесь типично славянская модель с суффиксом -ин- и окончанием -ская, что прочно привязывает фамилию к восточноевропейской ономастике.

По сословной принадлежности: фамилии на -ский/-ская в XVIII–XIX веках были массово распространены среди польской шляхты и украинской казацкой старшины. Бержеминская могла принадлежать к обедневшему дворянскому роду, который владел небольшим хутором или деревней. Впрочем, носительницы этой фамилии могли получить её и от помещика, давшего дворовым или крестьянам фамилию по названию имения.

С точки зрения географии: фамилия почти не встречается в современных российских базах. Единичные упоминания тяготеют к западным областям — Брестской, Волынской, а также к Польше. Это подтверждает версию о локальном происхождении от небольшого топонима, который не сохранился на картах или изменил название.

Итог: Бержеминская — фамилия, скорее всего, топонимическая, польско-украинского происхождения, с суффиксом, указывающим на дворянский или шляхетский статус предков. Точное место (деревня или усадьба) сегодня установить трудно, но корень связан с «берегом» или «бережьем» в местном диалекте.