Фамилия Бешиляев — редкая и морфологически прозрачная, но её основа сразу ставит вопросы. Судя по финали -яев, это вариант фамилии на -ев, где корень заканчивается на -яй. В русской антропонимии суффикс -ев присоединяли к основам на мягкий согласный или на -й (ср. Андреев, Тимофеев). Здесь корень Бешиляй — скорее всего, прозвище или диалектное слово. Что оно могло значить?

Самая прямая версия: Бешиляй — это тюркское имя или прозвище. В тюркских языках «беш» значит «пять» (ср. турецкое beş, татарское биш). Суффикс -иляй может быть искажённым «-иля» или «-илей» — уменьшительно-ласкательным или принадлежностным аффиксом. Тогда Бешиляй — «пятый» или «пятерня», возможно, прозвище пятого ребёнка в семье. В тюркской ономастике числовые имена встречаются: Беш (пять), Алты (шесть), Еди (семь). Бешиляй — их уменьшительная форма, закрепившаяся как фамилия.

Вторая версия, менее вероятная: фамилия могла возникнуть от русского диалектного слова «бешиля» или «бешило» — так в некоторых говорах называли неуклюжего, нерасторопного человека. Но эта гипотеза слаба: нет надёжных словарных фиксаций такого слова, а суффикс -яй в русских прозвищах встречается редко (Пиняй, Ширяй), обычно он указывает на повелительное наклонение глагола (бегиляй — от «бегать»?). Скорее всего, это народная этимология.

Географически фамилия тяготеет к регионам с тюркским населением или смешанным русско-тюркским пограничьем: Поволжье, Урал, Северный Кавказ. Встречается она крайне редко — в базах данных и телефонных справочниках единичные носители, в основном в Башкортостане и Татарстане. Это подтверждает тюркскую версию: фамилия могла возникнуть у татар, башкир или чувашей, чьи имена позже русифицировались через суффикс -ев.

Словообразовательная модель типична для русских фамилий из тюркских прозвищ: имя Бешиляй + русский патронимический суффикс -ев. Носитель фамилии — потомок человека, которого в своё время прозвали Бешиляй (пятый сын или пятый ребёнок). Социальный статус предков, скорее всего, крестьянский или мещанский: фамилии на -ев из прозвищ редко давали дворянам, чаще — податным сословиям. Точных данных о сословной принадлежности нет, но по косвенным признакам (редкость, тюркская основа, регион) это фамилия крестьян или служилых людей из нерусских народов.

Итог: Бешиляев — русифицированная тюркская фамилия от числового прозвища «пятый». Предки — скорее всего, татары или башкиры, жившие в Поволжье или на Урале. Фамилия редкая, но её значение простое и прозрачное — указание на порядок рождения в семье.