Фамилия Бешкенадзе — типичный пример грузинской фамилии, построенной по модели «основа + суффикс -дзе». В грузинской ономастике суффикс -дзе (ძე) означает «сын» или «потомок», поэтому Бешкенадзе буквально переводится как «сын Бешкена» или «потомок Бешкена». Такая модель особенно распространена в восточной Грузии, в первую очередь в Кахетии и Картли.

Основа фамилии — мужское имя Бешкен. Оно имеет иранское происхождение и в переводе означает «могучий телом». Это имя было известно в грузинской аристократической среде: например, в XVII веке упоминается князь Бешкен, сын царя Картли Ростома. Таким образом, предок носителей фамилии Бешкенадзе мог получить имя, подчёркивающее физическую силу и стать.

Существует альтернативная версия, согласно которой в основе лежит не имя, а прозвище Бешкен, восходящее к турецкому слову beşik — «люлька, колыбель». Сторонники этой версии предполагают, что так могли прозвать многодетного отца, в чьём доме постоянно были маленькие дети, либо мастера, изготавливающего колыбели. Однако эта гипотеза кажется менее правдоподобной: фамилии на -дзе в подавляющем большинстве случаев образуются от личных имён, а не от прозвищ или названий предметов. К тому же турецкое заимствование в грузинской среде маловероятно для основы, которая имеет устойчивую иранскую этимологию.

Что касается географии, фамилия Бешкенадзе встречается преимущественно в Грузии и среди представителей грузинской диаспоры. В России она редка и обычно указывает на грузинские корни. Сословная принадлежность предков могла быть разной: от крестьян до мелкопоместных дворян, поскольку имя Бешкен бытовало в разных слоях общества. Точных данных о численности или концентрации фамилии в открытых источниках нет, но по общему правилу фамилии на -дзе — одни из самых массовых в Грузии, и Бешкенадзе не исключение.