Фамилия Бейенари — румынского или молдавского происхождения, что сразу заметно по характерному окончанию -ари. В русском языке она закрепилась в написании Бейенари, хотя её исходная форма — Bejenari. Такие фамилии на -ари (сравните с румынскими Păcurari, Lemnari) обычно указывали на профессию или занятие предка, поэтому искать в ней славянский корень «бежать» стоит с оговорками.

Прозвище Беженар, от которого образована фамилия, скорее всего, связано с румынским словом bejenar — «беженец» или «изгнанник». В историческом контексте Молдавии и Валахии так называли людей, покинувших родные места из-за войн, набегов или внутренних распрей. Фамилия могла закрепиться за человеком, который когда-то бежал от опасности и осел на новом месте, либо за его потомками.

Версия о связи с игрой в бежни (догонялки с катанием предметов) менее убедительна: в румынском языке нет следов такого слова, а сама игра описывается как русская народная забава. Скорее всего, эту гипотезу придумали, отталкиваясь от внешнего сходства с русским «бежать», но она не выдерживает проверки реальной географией фамилии.

Глагол «бежать» тоже мог повлиять на трактовку прозвища, но только в народной этимологии, когда румынскую фамилию переосмыслили на славянский лад. В этом случае Беженаром могли назвать быстрого человека, гонца или непоседу. Однако первичное значение — «беженец» — исторически точнее и встречается в документах XVII–XVIII веков, когда многие крестьяне и мелкие бояре из Молдавии переселялись на юг Российской империи.

Фамилия Бейенари почти не встречается в центральной России, но её можно найти в Одесской области, Приднестровье и среди потомков молдавских переселенцев на Кубани. Суффикс -ари в румынских фамилиях — аналог русского -арь (как у бондаря или гончара), поэтому Бейенари буквально означает «беженец» или «человек, имеющий отношение к бегству».