Фамилия Беженари — редкая, с прозрачной, но неочевидной основой. Если не вдаваться в детали, кажется, что перед нами грузинская фамилия: характерное окончание -и, звучное начало. Однако при ближайшем рассмотрении выясняется, что корень у неё, скорее всего, не грузинский, а тюркский или арабский, а сама фамилия могла сложиться в среде народов Северного Кавказа или Закавказья.

Основа «бежен» восходит к тюркскому слову «беджан» или «бежан», которое в разных диалектах означает «богатырь», «силач», «крепкий мужчина». В арабском языке есть созвучное «баджана» — «герой». Суффикс -ари в данном случае — не типичный русский патронимический суффикс, а скорее элемент, характерный для языков кавказской семьи (например, в мегрельском или сванском) или же тюркский аффикс принадлежности, указывающий на «относящийся к» или «сын такого-то». Таким образом, Беженари можно перевести как «сын богатыря» или «принадлежащий к роду силачей».

Географически фамилия встречается в Абхазии, Грузии (особенно в Мегрелии) и среди армян. В России она крайне редка и фиксируется в основном у потомков переселенцев с Кавказа. В дореволюционных источниках фамилия могла записываться как Бежанари, Беджанари или Бежанери — вариативность объясняется передачей кавказских звуков кириллицей на слух.

В отличие от многих русских фамилий, образованных по модели «имя + -ов», Беженари не имеет сословной окраски. Её носителями могли быть и крестьяне, и князья — в горских обществах прозвище «силач» не было унизительным, а наоборот, давалось за личную доблесть. Если ваш предок носил эту фамилию, он, скорее всего, происходил из среды, где ценилась физическая сила и воинская удаль, а сама фамилия закрепилась за родом как почётное именование.