Фамилия Беженар звучит необычно для русского уха — и это первый ключ к её разгадке. В ней нет типичных восточнославянских суффиксов -ов или -ин, зато есть конечное -ар, которое часто встречается в фамилиях украинского, польского или южнославянского происхождения. Этот суффикс обычно указывает на род деятельности (как гончар, маляр), поэтому логично предположить, что в основе фамилии лежит не имя, а прозвище по занятию.

Точное значение слова «беженар» в старых словарях не зафиксировано, но ономасты предлагают несколько версий, и все они заслуживают внимания.

Первая, самая конкретная, связывает прозвище с древней игрой в бежни. Суть забавы: участники пускали по земле деревянные шары (бежни), и побеждал тот, кто докатит свой шар дальше всех и первым его подхватит. Прозвище Беженар мог получить заядлый игрок, мастер этого состязания — «беженар» как «тот, кто играет в бежни». Версия правдоподобна, особенно если учесть, что в украинских говорах слово «беж» означало «бег», а «бежний» — «беглый, скорый».

Вторая гипотеза проще и прозрачнее: прозвище образовано от глагола «бежать». В этом случае Беженаром могли назвать человека с лёгкой, быстрой походкой, неусидчивого, деятельного — того, кто всё делает на бегу. Не исключено и профессиональное значение: гонец, посыльный, скороход. В польском языке есть слово bieżnik — «бегун», что подтверждает такую модель.

Скорее всего, фамилия сформировалась на западноукраинских или польских землях, где суффикс -ар особенно активен. Со временем прозвище закрепилось за родом, утратило прямую связь с игрой или профессией и превратилось в наследственную фамилию.

Встречается Беженар нечасто, преимущественно в западных областях Украины, а также среди потомков переселенцев в Сибири и на Дальнем Востоке. Носители фамилии могут с равной вероятностью вести род от любителя старинной забавы, от быстрого ходока или от почтового гонца.