Прозвище Беженар, скорее всего, ведет свое начало от названия древней игры в бежни. Каждый участник мечет покатом и догоняет свою бежню, кто дальше закатит ее и первым подхватит, тот и считался победителем. Скорее всего, основатель рода Беженар был страстным любителем подобной забавы. Согласно другой гипотезе, это прозвище восходит к глаголу «бежать». В таком случае это прозвище могло указывать на особенности поведения основателя рода Беженар (у него могла быть легкая, свободная походка) или его характера (деятельный, трудолюбивый). Кроме того, оно может свидетельствовать и о некоторой неусидчивости: человек с таким прозвищем мог делать все на бегу, неаккуратно. Возможно также, что прозвище Бег имеет отношение к профессии предка: он мог быть гонцом, посыльным.