Прозвище Беженарь, скорее всего, ведет свое начало от названия древней игры в бежни. Каждый участник мечет покатом и догоняет свою бежню, кто дальше закатит ее и первым подхватит, тот и считался победителем. Скорее всего, основатель рода Беженарь был страстным любителем подобной забавы. Согласно другой гипотезе, это прозвище восходит к глаголу «бежать». Поэтому можно предположить, что человек по прозвищу Беженарь, вероятно, отличался скоростными качествами. Прозвище может свидетельствовать и о некоторой неусидчивости: человек мог делать все на бегу, неаккуратно. Возможно также, что прозвище Беженарь имеет отношение к профессии предка: он мог быть гонцом или посыльным.