Фамилия Беженарь — редкий случай, когда прозвище, лёгшее в основу, скорее всего, связано не с профессией или внешностью, а с народной забавой. В основе лежит слово «бежня» — так в некоторых русских говорах называли деревянный шар или каток для старинной игры. Участники пускали свои бежни по земле, стараясь, чтобы шар укатился дальше всех, а затем наперегонки бежали его подхватывать. Победителем считался тот, кто первым догонит свою бежню. Прозвище Беженарь, таким образом, мог получить заядлый игрок или искусный участник этой забавы.

Такая версия выглядит убедительнее, чем прямое связывание фамилии с глаголом «бежать». Суффикс -арь в русских фамилиях и прозвищах обычно указывает на деятеля, но не столько на ремесло (как в словах «гончар» или «пекарь»), сколько на человека, склонного к определённому занятию или поведению. Беженарь — это не «тот, кто бегает», а скорее «тот, кто играет в бежни», «любитель беженей». Эта словообразовательная модель встречается в прозвищах по увлечениям или типичным действиям.

Впрочем, полностью исключать связь с бегом не стоит. В говорах слово «бежень» могло означать и беглеца, и быстроногого человека. Поэтому у фамилии есть и вторая линия толкования: Беженарь — прозвище скорохода, гонца или просто непоседы, который всё делал на бегу, неаккуратно. Однако первая версия, с игрой, более специфична и потому интересна — она привязывает фамилию к конкретному культурному контексту, а не к общеупотребительному действию.

Фамилия Беженарь — украинская или южнорусская по происхождению (суффикс -арь типичен для западно- и южнославянских территорий). Встречается она крайне редко, и сегодня её носители рассеяны по разным регионам бывшего СССР. Сословного барьера у фамилии не было: прозвище по игре или по быстроте мог получить и крестьянин, и казак.