Фамилия Безбавная — редкий пример, когда прозвище, лёгшее в основу, сохранилось почти без изменений, а суффикс лишь указал на женский род носительницы. В мужском варианте фамилия звучала бы как Безбавный, но именно женская форма закрепилась в документах, что бывает, когда родословная велась по материнской линии или женщина первой получила паспорт.

Корень «бав-» восходит к древнерусскому глаголу «бавить» — медлить, задерживать, тянуть время. Отсюда «бава» — промедление, задержка, а «безбавный» — человек, который не мешкает, делает всё быстро и без проволочек. В говорах «бавный» значило «медлительный», «вялый», поэтому «безбавный» — полная противоположность: расторопный, скорый на руку, решительный. Такое прозвище могли дать бойкому работнику, гонцу или торговцу, который не любил ждать и не заставлял ждать других.

Встречается фамилия преимущественно на юге России и в украинских землях, где суффикс -н- в прозвищах был особенно активен. Форма на -ая (а не -ый) типична для украинской и южнорусской традиции оформления фамилий в женском роде, когда в официальных записях фиксировали именно женщину — вдову, солдатку или хозяйку двора.

Словарь Б. Унбегауна относит такие фамилии к группе «характеристических» — образованных от качеств человека. Прямых аналогов у Безбавной немного: есть фамилии Бавин, Бавкин (от того же корня «бавить»), но приставка без- встречается редко. Она усиливает отрицание: не просто «не медлит», а «лишён медлительности как свойства».

В XX веке фамилия могла трансформироваться под влиянием орфографических реформ: до 1918 года писали «Безбавная» с буквой «ять» в окончании? Нет, здесь ять не было, написание устойчивое. Но в метрических книгах иногда встречается «Безбабная» — от «без бабы», то есть вдовец или холостяк. Это омонимичная, но другая по смыслу фамилия. Для Безбавной версия с «бабой» (женщиной) ошибочна — корень именно глагольный.

Так что если ваша фамилия Безбавная, предки, скорее всего, выделялись среди соседей быстротой и деловитостью. Прозвище не обидное, а скорее уважительное: такого человека звали безбавным, чтобы подчеркнуть, что на него можно положиться — не подведёт и не затянет дело.