Фамилия Безходарная — редкий случай, когда основа прозвища не реконструируется, а прямо указывает на отсутствие чего-то. Буквально: «без хода» и суффикс принадлежности -ар (сравните: бондарь, писарь, звонарь). Человек, которого прозвали Безходар, — тот, кто «без ходу», то есть медлительный, неповоротливый, или, в другом прочтении, не имеющий хода (прохода, средств передвижения). Форма на -ая — это типичное окончание женского рода в русских фамилиях, которое закрепилось за женщиной, но исторически фамилия передавалась по мужской линии: сначала был Безходар, потом его дети стали Безходарными.

Корень «ход» в прозвищах и фамилиях встречается часто (Ходов, Ходор, Ходарь), но приставка «без-» делает значение отрицательным. В крестьянской среде, где ценятся расторопность и сила, такое прозвище могло закрепиться за человеком неспешным, «тяжёлым на подъём». Второй вариант, более прозаичный: «безходар» — тот, кто не может ходить, калека. Однако для прямого указания на физический недостаток в русских говорах чаще использовали слова «безногий» или «хромой», поэтому версия с медлительностью выглядит предпочтительнее.

Фамилия почти не встречается за пределами восточнославянского ареала. Встречается в основном на юге России и в восточных областях Украины — в зоне, где суффикс -ар был продуктивен для образования прозвищ по действию или свойству. По сословной принадлежности — однозначно крестьянская или казачья: в дворянских родословных книгах такая фамилия не зафиксирована. В написании возможна путаница с похожей фамилией Безхоторная (от «хотеть»), но Безходарная — это именно про «ход» и «без».

Если вы носите эту фамилию, то ваш предок, скорее всего, был человеком, которого в деревне дразнили за нерасторопность — или, наоборот, уважали за основательность, не терпящую суеты.