Фамилия Безклинская — редкий случай, когда отрицание (без-) стоит прямо в основе, а не в суффиксе. Она женская; мужской вариант — Безклинский. Принадлежит к типу фамилий на -ский/-цкий, которые в старину чаще всего указывали на дворянское происхождение или на связь с географическим названием: селом, усадьбой, местечком. Если перед нами не искусственная семинарская фамилия (а их тоже много среди «географических»), то предок Безклинских получил прозвание по владению или проживанию в местности с корнем «Клин».

Клин — одно из самых частых славянских названий. Им обозначали и треугольный участок земли, и лесную делянку, и деревню на клинообразном мысу. Фамилия Безклинская буквально значит «та, что без Клина» или «родом из местности, где нет Клина». Это необычно: обычно фамилии «от противного» редки. Параллель — фамилии Беспалов (без пала, то есть без пожара), Бессонов (без сна), но там отрицание в основе прозвища. Здесь же — отрицание в названии места. Правдоподобная версия: предок происходил из села, которое в отличие от соседних не называлось Клин, а носило имя Безклинки или Безклинное. Такие микротопонимы встречаются: деревня, стоящая на открытом месте, без характерного клинообразного выступа.

Менее вероятно, но возможно — прозвище человека, который не имел отношения к «клину» в смысле общинного надела или ремесла (клин в кузнечном деле). Но в этом случае фамилия скорее оформилась бы через суффикс -ов/-ев: Безклинов.

Написание с «з» (Безклинская) — исторически верное, отражает приставку без- перед глухим согласным. В советское время многие фамилии «исправили» на Бесклинский, но носители могли сохранить старую орфографию. Встречается фамилия в основном в западных и южных областях России, а также на Украине — там, где топонимы с корнем «клин» особенно часты. Сословно: если не дворяне, то однодворцы или казаки, реже — крестьяне, получившие фамилию при переписи по названию хутора.