Фамилия Безклинский — редкий случай, когда отрицательная приставка стоит не перед корнем, обозначающим отсутствие чего-то (как в фамилиях Безруков, Безбородов), а перед географическим названием. Разбираем её по частям: Без- + Клин- + -ск(ий). Основа здесь — «клин». Это не просто геометрическая фигура, а распространённый в славянской топонимике термин, означающий узкую полосу земли, мыс, участок леса, вдающийся в поле, или даже отдельный надел земли, выкроенный из общего массива. Населённых пунктов с названием Клин или Клины в России и Беларуси десятки.

Суффикс -ск(ий) указывает на то, что фамилия относится к «дворянскому» или «географическому» типу. В отличие от патронимических фамилий на -ов/-ев (сын Ивана — Иванов), фамилии на -ский чаще всего образовывались от названия местности, которой владел человек или откуда он был родом. Форма «Безклинский» буквально означает «тот, кто из Безклина» или «тот, кто живёт без Клина». Слово «Безклин» — это либо название хутора, деревни или урочища, которое когда-то существовало, либо прозвище, данное человеку, который жил отдельно от основного клина (надела), на отшибе.

Интересна орфографическая деталь: написание через «з» (Безклинский, а не Бесклинский) — архаичное. В дореволюционной орфографии приставка без-/бес- подчинялась правилам: перед звонкой согласной писали «з», перед глухой — «с». «К» — согласная глухая, поэтому по современным нормам следовало бы писать «Бесклинский». Сохранение «з» в фамилии — верный признак того, что она закрепилась на письме до реформы орфографии 1918 года, и её носители сознательно или по традиции сохранили старую форму. Это не ошибка, а историческое свидетельство.

Вероятнее всего, предок носителя этой фамилии был либо мелкопоместным дворянином, которому принадлежало имение с названием Безклин (или его часть), либо крестьянином, переселившимся из деревни с таким названием. Второй вариант даже более правдоподобен: фамилии на -ский у крестьян и однодворцев южнорусских и белорусских губерний — частое явление, они указывали на место выхода. Искать корни фамилии стоит в архивах Смоленской, Могилёвской, Черниговской или Витебской губерний — именно там распространены как топонимы с корнем «клин», так и фамилии с приставкой без-/бес-.

Итог: фамилия Безклинский — это топонимический маркер. Она не описывает внешность или занятие, а привязывает родоначальника к конкретному месту — урочищу или деревне Безклин. Редкое написание с «з» выдаёт её дореволюционное происхождение.