Фамилия Безрадная — это редкий случай, когда корень слова сохраняет почти буквальное, прямое значение, не успев обрасти метафорами. В основе лежит прилагательное «безрадный», которое в старых русских говорах означало «не приносящий радости», «безотрадный», «горестный». Человек, получивший такое прозвище, скорее всего, жил в трудных обстоятельствах или отличался мрачным, тяжелым нравом. В отличие от фамилий, образованных от крестильных имён (Иванов, Петров), эта отсылает не к имени предка, а к его характеру или судьбе.

Словообразовательная модель проста: основа «безрадн-» и суффикс притяжательного прилагательного «-ая». В русской ономастике женская форма фамилии на «-ая» (Безрадная) чаще всего указывает на то, что исходная мужская форма — Безрадный, а сама фамилия относится к типу адъективных (отвечающих на вопрос «какой?»). Такие фамилии были особенно распространены на юге России и Украине, где прилагательные в роли фамилий склонялись по падежам. Можно предположить, что географически фамилия Безрадная/Безрадный тяготеет к чернозёмным областям или к южнорусским говорам, где слово «безрадный» фиксируется в этнографических записях.

Интересно, что фамилия не связана с понятием «радость» в современном смысле. В древнерусском языке «рад» означало не только эмоцию, но и «заботу», «попечение» (ср. «радеть»). Поэтому «безрадный» могло означать и «беспечный» в смысле «не заботящийся о других», «не радеющий». Если принять эту версию, то прозвище относилось к человеку бесхозяйственному или ленивому, а не обязательно печальному. Обе трактовки правдоподобны, но вторая реже встречается в популярных объяснениях, хотя её поддерживает логика древних корней.

Фамилия не имеет отношения к украинскому «рада» (совет) — в этом случае форма была бы «Безрадна» или «Безрадченко». Написание через «з» (а не «с») указывает на то, что фамилия сохранила приставочную природу: «без-» — это приставка, а не часть корня. Это типично для старых русских фамилий, образованных от качественных прилагательных с отрицанием.