Фамилия Безталанний — редкий случай, когда ударение и написание напрямую спорят с привычным значением. В украинском и южнорусском говорах слово «безталанний» означает не «бездарный», а «несчастный, горемычный, обездоленный судьбой». «Талан» здесь — не способность, а доля, удача, счастье (от греческого «талант» через церковнославянский, где это слово обозначало и меру веса, и судьбу). Так что Безталанний — это буквально «бесталанный» в старом, забытом смысле: тот, кому не выпало счастья, кого преследуют неудачи.

Фамилия образована по типичной для украинской ономастики модели: прилагательное на -ий, которое перешло в разряд фамилий без дополнительного суффикса (ср. Кривий, Сухий, Гордий). Это не патроним, не указание на отца, а прозвище по характеру или жизненной ситуации. Вероятно, его дали человеку, которого считали неудачником, или же — реже — как оберег, чтобы злые силы не позарились на того, кто и так «бесталанный».

Географически фамилия почти целиком привязана к Украине и Черноземью. В России она встречается в единичных случаях, часто в искажённой записи — «Бесталанный» или «Безталанный». Именно написание через два «н» (Безталанний) выдает украинское происхождение: в русском языке суффикс прилагательного был бы -н-, а двойное «н» закрепилось в украинской орфографии для форм мужского рода именительного падежа.

Сословно носители фамилии почти наверняка были крестьянами или казаками. В реестрах Войска Запорожского встречаются похожие прозвища — Безталан, Бездольный — что подтверждает бытовую, а не книжную природу фамилии. Никаких дворянских родов с такой фамилией не известно: она слишком откровенно описывает невезучесть, чтобы стать престижной.

Любопытная деталь: в современных украинских паспортах фамилию часто «исправляют» на Бесталанний, считая первый вариант ошибкой. Но исторически именно Безталанний — исходная форма, и ударение в ней падает на второй слог: без-та-ла́н-ний. Если ваш предок писался именно так, он, скорее всего, был из тех, кого в XIX веке называли «бесталанными» — не от отсутствия дарований, а от горькой доли.