Фамилия Безвезюк — редкий случай среди восточнославянских фамилий, где корень, на первый взгляд, ясен, а вот механизм его превращения в фамилию неожидан. Если разбить слово на части, то основа — «безвез-», суффикс «-юк». Суффикс «-юк» (как и «-чук», «-ук») — типичный для западноукраинских и белорусских фамилий, он указывает на родство или происхождение: «сын такого-то» или «человек, связанный с чем-то». В данном случае — «сын Безвезя» или «человек из рода Безвезь».

Но что такое «Безвезь»? Самое прямое объяснение — от глагола «безвезить» (не везти, терпеть неудачу). В русских и украинских говорах «безвезье» значило невезение, неудачу. Прозвище Безвезь могли дать человеку, которого преследовали неудачи, или, наоборот, в качестве оберега — чтобы злые силы думали, что человек и так несчастлив, и не трогали его. Такая практика (нарекать «плохими» именами для защиты) хорошо известна в народной культуре.

Однако есть и другая, более прозаичная версия. Фамилия могла возникнуть на стыке двух компонентов: предлога «без» и имени Везюк. Везюк — это форма от имени Везен (производное от «везти», «возить»). В старину Везюком могли звать возчика, перевозчика. Со временем «Без Везюка» (например, прозвище человека, который живет без перевозчика, или сын человека по прозвищу Безвезюк) закрепилось как фамилия. Такая модель образования (предлог + имя/прозвище) встречается, хоть и редко, среди украинских фамилий.

Географически фамилия Безвезюк привязана к западу Украины, скорее всего к Волыни или Подолью, где суффикс «-юк» наиболее распространен. В России и Беларуси она почти не встречается. Социальный контекст — крестьянская или казачья среда, где прозвища возникали из бытовых ситуаций или черт характера.

Из двух версий первая (прозвище от «безвезья») выглядит правдоподобнее, потому что она логичнее объясняет единый корень «безвез-» и не требует допущения, что существовало имя Везюк, которое потом «потеряло» предлог. Однако однозначного ответа нет: ономастика — наука предположений, и в случае с редкими фамилиями часто остается поле для спора.