Фамилия Бичинський — хороший пример того, как украинская фамилия на -ський может быть связана не с дворянским гербом, а с обычным прозвищем или названием места, где жил человек. В этом её главное отличие от похожих русских фамилий на -ский, которые часто указывали на владение землёй.

Основа фамилии — «Бич-». Самое прямое и простое объяснение: в основе лежит украинское слово «бич» — то есть кнут, плеть. Прозвище Бич могли дать человеку резкому, вспыльчивому, либо тому, кто постоянно ходил с кнутом — погонщику скота, возчику или пастуху. В украинских говорах слово «бич» могло также означать «хлыст» или «прут», что не меняет сути. От прозвища Бич по модели «прозвище + суффикс принадлежности» образовалась фамилия Бичинський. Суффикс -ин- в этом случае указывает на то, что речь идёт о «сыне или потомке Бича»: Бичин — «чей?» — Бичев, а затем -ський добавило фамилии более «шляхетское» звучание, что было распространённой практикой среди украинских крестьян и казаков в XVII–XVIII веках.

Есть и вторая, более спорная версия: происхождение от названия населённого пункта. В Украине есть несколько сёл с корнем Бич- (например, Бички, Бичова). Тогда Бичинський — это тот, кто родом из Бичей или Бичова. Такие топонимические фамилии были особенно популярны на Правобережье и Галичине. Однако без конкретной документальной привязки к конкретному селу эта версия остаётся менее надёжной, чем прозвищная: фамилия Бичинський не слишком частая, чтобы её связывали с известным шляхетским родом.

Интересно, что в русском языке есть фамилия Бичинский (с одной «с»), но украинский вариант с «ь» (Бичинський) чётко указывает на украинскую фонетику и происхождение. В дореволюционных записях фамилию могли записывать по-разному: Бичинский, Бичинський, а иногда и Бичынський — в зависимости от говора писаря. Так что если ваши предки носили эту фамилию, скорее всего, они были выходцами из центральной или западной Украины, и их родоначальник получил прозвище за крутой нрав или профессию, связанную с управлением лошадьми.