Фамилия Благовещинский — редкий случай, когда написание расходится с произношением и с привычным церковным словом. Все знают праздник Благовещения, но фамилия пишется через «щ»: Благовещинский. Это не ошибка, а историческая особенность русского языка — чередование «ск/щ» в суффиксе прилагательного. Основа та же: «Благовещени(е)», то есть «благая весть». Фамилия образована по стандартной модели «основа + -ск(ий)», указывающей на принадлежность к месту или храму.

Скорее всего, предок носителя этой фамилии был либо священнослужителем в церкви, освящённой в честь Благовещения Пресвятой Богородицы, либо жил в селе или слободе с таким названием. В России множество сёл назывались Благовещенское или Благовещенка, и житель такого села легко получал фамилию по названию места. Форма на «-ский» типична для духовного сословия: в семинариях будущим священникам часто давали фамилии по названию храма, где служил отец, или по празднику. Благовещинский — почти наверняка семинарская фамилия, а не крестьянская, потому что «-ский» в XIX веке закрепился именно за духовенством.

Интересно, что в дореволюционных метрических книгах можно встретить оба варианта: и Благовещенский, и Благовещинский. Второй — более старый, отражающий живое произношение: «Благовещенье» через «щ» говорили чаще, чем книжное «Благовещение». Со временем написание унифицировали, но фамилия сохранила архаичную форму. Если ваш предок — Благовещинский, то с высокой вероятностью он происходил из духовного сословия средней полосы России, возможно из Поволжья или центральных губерний, где было много Благовещенских храмов и сёл.

Других версий происхождения, кроме храмово-географической, у этой фамилии нет. Корень прозрачен, и никакого иного ремесла или прозвища за ним не стоит.