Фамилия Блажиевич образована по распространенной в славянском мире модели: основа плюс суффикс -евич. Этот суффикс указывает на происхождение — «сын такого-то». В данном случае основа — Блажий, от которого с помощью патронимического суффикса и возникла фамилия. Такой способ словообразования особенно характерен для западнорусских земель и польско-литовского региона, где фамилии на -евич встречаются гораздо чаще, чем в Великороссии.

В основе фамилии лежит прозвище Блажий, связанное с древнерусским словом «блажь». Однако у этого слова было два противоположных оттенка. С одной стороны, блажь — это «упрямство, своенравие, сумасбродство», и тогда прозвище давали человеку вздорному или неуравновешенному. С другой стороны, в народной речи «блажь» могла означать и «счастье, удачу», а «блажной» — «счастливый, удачливый». В этом значении Блажим называли того, кому везло в жизни и кого не касались беды. Ономастика знает случаи, когда прозвища с корнем блаж- давали не столько за характер, сколько за обстоятельства рождения или жизни человека.

Менее вероятная, но возможная версия — связь с церковнославянским «блажий» (от «благо»), то есть «добрый, хороший». В этом случае прозвище могло быть дано как пожелание или констатация доброго нрава. Однако в бытовой речи такое значение встречалось реже, чем два описанных выше.

Фамилия Блажиевич — редкая. Она не входит в число распространенных русских фамилий и не фиксируется в классических справочниках по массовой русской ономастике (например, у Б. Унбегана или В. Никонова). Это говорит о ее локальном бытовании, скорее всего, на территории современной Беларуси или Украины, где патронимы на -евич сохранялись дольше и активнее, чем в центральной России. Если ваши предки носили эту фамилию, стоит искать их корни в западных губерниях Российской империи — Гродненской, Минской, Волынской или Подольской.