Фамилия Богасчув — редкий случай, когда написание почти полностью расходится с произношением. Если произнести её вслух, сразу слышится «Богачёв» или «Богачов». Но на письме — «счув» вместо «чёв». Такое могло возникнуть только при записи фамилии на слух, причём в местности, где «ч» звучало твёрдо, почти как «тш», и писарь передал это сочетанием «сч». Вторая причина — диалектное «цоканье» или «чоканье», когда звуки «ч» и «ц» путали, и вместо «Богацов» (от «богатец») появилось странное «Богасчув». Но скорее всего, перед нами искажённая форма фамилии Богачёв.

Основа фамилии — прозвище Богач или Богатый. В старину «богач» означало не только владельца большого имущества, но и зажиточного крестьянина, купца, а иногда — скупого или удачливого человека. Прозвище давали не обязательно по реальному достатку: им могли назвать и того, кто вёл себя по-барски, или просто в насмешку над бедняком. Суффикс -ев (в нормативном варианте) указывает на принадлежность: сын Богача, потомок Богатого.

Фамилии с основой «богат-» (Богатов, Богачёв, Богацкий) широко распространены по всей России, но форма Богасчув встречается исключительно редко. По таблицам Б. Унбегауна, написания с «сч» вместо «ч» типичны для северных и северо-западных говоров — Архангельской, Вологодской, Вятской губерний. Там же могло произойти смешение с фамилиями на -чув (типа Харчук, Мальчук), если носитель был выходцем из белорусских или украинских земель, где -чув — вариант суффикса -чук (сын, потомок). Но в случае Богасчув украинский след маловероятен: в малороссийской традиции фамилия звучала бы как Богачук.

Сословной привязки нет: «богач» — прозвище недворянское, поэтому предки скорее всего были крестьянами или мещанами. Если фамилия действительно северная, то её носители могли быть государственными или монастырскими крестьянами Поморья.

Итог: Богасчув — это русская фамилия, образованная от прозвища Богач, но записанная в искажённом диалектном варианте. Её уникальность — в редком написании, которое говорит о конкретном говоре и низкой грамотности писаря, фиксировавшего фамилию на слух.