Фамилия Богаев — одна из тех, где за простым звучанием скрывается целый веер возможных значений. Корень у неё тюркский: слово bogay (или bugay) означало «племенной бык», «производитель» в стаде баранов или крупного рогатого скота. Отсюда первая, самая прямая версия: прозвище Богай давали крупному, сильному и здоровому мужчине — этакому «бугаю» в положительном смысле слова.

Но тюркское слово прижилось в русских говорах не в одном значении. «Бугаем» называли выпь — болотную птицу с громким, трубным криком. Если предок получил прозвище за охотничью удачу или за то, что сам был шумным и заметным, это тоже могло стать основой фамилии. А ещё в некоторых областях «бугай» — это вид одежды, вроде сарафана. Тогда прозвище могло перейти к портному, торговцу тканями или просто к человеку, который такую одежду носил.

Фамилия образована по стандартной русской модели: к прозвищу Богай добавили типичный фамильный суффикс -ев, указывающий на принадлежность («чей?» — сын Богая). Со временем это закрепилось как наследственное имя.

Самая известная фигура с такой фамилией — Иван Богаев, болгарский писатель, филолог и этнограф. Его работы по фольклору и языку показывают, что фамилия не ограничивается русской территорией, а встречается и в южнославянской среде, что лишний раз подтверждает её тюркские истоки, общие для многих народов региона.

Таким образом, Богаев — это фамилия-загадка с тремя равноправными ключами: сила и стать, природная яркость или ремесло. Какой из них подходит к конкретной семье, без глубоких генеалогических изысканий сказать трудно, но каждый вариант по-своему колоритен.