Фамилия Богаевы — одна из тех, где за простым звучанием скрывается сразу несколько версий происхождения, и выбрать единственную непросто. В основе фамилии лежит прозвище Богай, а оно, в свою очередь, восходит к тюркскому слову bogay (или bugay), что означает «племенной бык, производитель». Это сразу подсказывает нам, что прозвище мог получить крупный, сильный и здоровый мужчина — эта версия кажется наиболее прямой и правдоподобной.

Однако на этом история не заканчивается. В русских говорах слово «бугай» имело и другие, совершенно неожиданные значения. Например, так называли выпь — болотную птицу с характерным громким криком. В этом случае прозвище Богай могло закрепиться за удачливым охотником или человеком с громким голосом. Кроме того, «бугаем» называли вид старинной одежды, напоминающий сарафан. Если прозвище пошло отсюда, то его родоначальником мог быть портной или торговец одеждой.

Словообразовательная модель здесь прозрачна: суффикс -ев указывает на принадлежность («чей?»), то есть Богаев — это «сын Богая» или «потомок Богая». Фамилия образована по тому же принципу, что и тысячи других русских отпрозвищных фамилий, и это типичный пример народной ономастики.

Любопытно, что фамилия Богаев встречается не только в русской, но и в болгарской среде. Один из известных носителей — Иван Богаев, болгарский писатель, филолог и этнограф. Это говорит о том, что прозвище и фамилия бытовали в разных славянских культурах, хотя точное место и время её возникновения установить сейчас сложно — процесс формирования фамилий был долгим и шёл в разных регионах параллельно.

Из всех версий наиболее убедительной выглядит тюркская основа со значением «бык, бугай»: она даёт ясную и логичную характеристику предка по физической силе. Остальные гипотезы (птица, одежда) возможны, но менее вероятны — они опираются на более редкие и узкорегиональные значения слова.