Фамилия Богаева — один из тех случаев, когда написание расходится с произношением, а за привычным звучанием может скрываться неожиданное прозвище. Скорее всего, перед нами фонетический вариант более распространенной фамилии Багаева. В русском языке аканье (произношение «о» как «а») в безударной позиции привело к тому, что на письме закрепилась форма с буквой «О», хотя исходная основа — Багай.

Прозвище Багай в некоторых областях России давали шалуну и озорнику. Это значение прямое и бытовое. Однако есть и вторая, более объемная версия, которая связывает фамилию с диалектным словом «бугай». Слово это многозначное: так называли и племенного быка, и тяжелый железный рычаг для подъема тюков, и даже древнюю великокняжескую верхнюю одежду (а в крестьянском быту — плохой рабочий сарафан). В таком случае прозвище Бугай мог получить либо человек могучего телосложения, либо работящий грузчик, либо — что реже — щеголь в старинной одежде.

Фамилию образовали по стандартной модели: к основе прозвища (Багай или Бугай) добавили суффикс принадлежности -ев, который указывает на «сына» или «потомка». То есть Богаев — буквально «сын Багая (Бугая)». Суффикс -ев, а не -ов, появился из-за мягкого звука [й] на конце основы: после него по правилам русского языка пишется «е», а не «о».

С географической точки зрения фамилия Богаева (и её исходный вариант Багаева) чаще всего встречается в южнорусских и поволжских регионах, где аканье особенно сильное, а слово «бугай» в значении «бык» было широко распространено.

Хотя фамилия редкая, её известный тезка — Сергей Николаевич Багаев (р. 1941), академик РАН, физик, работающий в области лазерной спектроскопии и квантовых стандартов частоты. Его пример показывает, что за прозвищем, восходящим к «шалуну» или «быку», может стоять человек серьезной науки.