Фамилия Богачук — типичный пример восточнославянской модели, где прозвище или мирское имя превратилось в родовое имя с помощью патронимического суффикса. В данном случае суффикс -ук (характерный для украинской и белорусской ономастики) указывает на принадлежность к потомку человека по прозвищу Богач. То есть Богачук — это «сын Богача» или «человек из рода Богача».

Само прозвище Богач восходит к прилагательному «богатый». Им наделяли зажиточного крестьянина, купца или просто человека, у которого водились деньги и добро. Однако не стоит думать, что речь всегда шла о реальном достатке: в древнерусской традиции существовали мирские имена-пожелания. Нарекая младенца Богачом, родители желали ему счастливой и сытой жизни — это обереговая практика, распространенная у славян задолго до появления фамилий.

Встречаются и альтернативные версии. Имя Богач могло быть уменьшительной формой от крестильного имени Богдан («данный Богом») или от старинного славянского имени Богуслав (тот, кто славит Бога). В таком случае фамилия Богачук оказывается не прозвищной, а производной от полного имени, простонародная форма которого со временем закрепилась в документах.

Исторические записи подтверждают бытование однокоренных прозвищ: у С. Б. Веселовского упоминаются Богатков Федор, царский конюх (1573 год), и Богатый Иван, холоп (1545 год). Это показывает, что корень «богат-» активно использовался в личных именованиях XVI века.

География фамилии Богачук плотно привязана к западнорусским землям. В архивах белорусского «Мемориала» значится Богачук Гавриил Кононович (1884 года рождения, деревня Демидовщина Барановичской области). Одесский академический центр фиксирует Богачука Демьяна Кузьмовича (1881 год, село Поплавки, ныне Молдавия). А в архивах Прокуратуры Москвы упоминается рабочий цементного завода Богачук Степан Степанович (1888 год, украинское село Великие Трояны). Все три случая — конец XIX века, что совпадает с массовым закреплением фамилий после сенатского указа 1888 года, когда «именоваться определенной фамилией составляет не только право, но и обязанность всякого полноправного лица». Именно тогда прозвище Богач окончательно превратилось в наследственную фамилию Богачук.