Фамилия Богаская — редкая и неочевидная с точки зрения происхождения. На слух она почти наверняка воспринимается как польская или украинская, и это первая подсказка. Формант -ск(ий) / -ск(ая) указывает на фамилию, образованную от географического названия, а окончание -ая — на русскую адаптацию женской формы (по модели «польская шляхта → русская фамилия»). Мужской вариант, логично, Богаский.

Корень «Бог-» в фамилиях обычно отсылает либо к имени Богдан (Богом данный), либо к слову «богатый». Но в случае Богаской скорее всего работает первая версия: от названия населённого пункта вроде Богаты, Богатка или Богаче. Такие топонимы встречаются в Польше и на западе Украины (например, село Богатка в Лодзинском воеводстве). Фамилию мог получить человек, который оттуда родом — типичная модель для польской шляхты и крестьянства.

Есть и альтернативная, менее вероятная версия: от прозвища «Богаска» — человека, связанного с «богом» (в смысле религиозного служения, возможно, юродивого или набожного). Но суффикс -ск- для прозвищ нехарактерен, он «сидит» на топонимах. Поэтому географическое происхождение — основной путь.

В русском контексте фамилия Богаская — почти наверняка пришлая, из западных губерний Российской империи, где польские и малороссийские фамилии на -ский были массово распространены. В XIX веке их носители могли переселиться в центральную Россию, на Кубань или в Сибирь. Сейчас фамилия встречается единично, без ярко выраженного ареала. Известных носителей нет, что только подтверждает её редкость.

Если сравнивать с однокоренными — Богацкий, Богачев, Богданов — Богаская стоит особняком: она не от имени и не от профессии, а от места. Для человека, который ищет свою фамилию, это значит, что предки, скорее всего, были выходцами из конкретной деревни или местечка с похожим названием, а не из какого-то сословия или ремесла.