Фамилия Богетич — редкий для русского слуха случай южнославянской модели на -ич. В отличие от русских фамилий на -ов/-ев или -ин, этот суффикс в сербском, хорватском и черногорском языках указывает на происхождение от предка: буквально «сын такого-то» или «потомок». Основа здесь — Богета, уменьшительная или прозвищная форма от имени Бого, Богич, которые, в свою очередь, восходят к славянскому корню *bogъ — «бог». Такие имена (Богомил, Божидар, Боголюб) были распространены в среде православных и католических южных славян, но нередко встречались и у балканских мусульман, особенно боснийцев. Вполне вероятно, что Богета было домашним именем или прозвищем человека, которого считали «божьим» или набожным.

Географически фамилия Богетич тяготеет к Черногории, Боснии и Герцеговине, а также к сербским регионам. В России и на Украине она почти не встречается — единичные носители, скорее всего, потомки переселенцев из Югославии или эмигрантов XX века. Известных исторических личностей с такой фамилией нет в открытых источниках, поэтому говорить о дворянском или крестьянском происхождении конкретного рода сложно: в балканской традиции фамилии на -ич могли носить и крестьяне, и священники, и ремесленники.

Примечательная деталь: в некоторых сербских записях XIX века фамилия могла писаться как Богетић (с мягким знаком на конце) или даже Богиетич — вариация, возникшая из-за диалектного произношения. Если ваш предок был из Герцеговины, есть шанс, что фамилия связана с родовым прозвищем Богета, которое могло означать «маленький бог» или «божественный» — не в прямом смысле, а как ласкательное обращение к ребёнку. В любом случае, перед вами типичный образец балканской антропонимики с прозрачной, но не тривиальной этимологией.