Фамилия Богытарёва — редкий случай, когда основа не бросается в глаза, а написание ставит в тупик. Главный вопрос, который возникает при взгляде на неё: откуда взялось «ы»? Если бы фамилия звучала как «Богатырёва», всё было бы прозрачно: от слова «богатырь», былинный герой. Но вариант с «ы» заставляет предположить, что мы имеем дело не с книжным, а с народным, диалектным произношением.

Слово «богатырь» в русских говорах и древнерусском языке знало разные произносительные варианты — «богатырь», «богатыр», «богатыр». В некоторых областях, особенно в южнорусских и украинских говорах, безударное «о» могло редуцироваться до «а», но здесь иное: «ы» на месте второго «о» — это, скорее всего, результат аканья, записанного на письме. То есть в живой речи слово произносилось как «багытырь» или «багатырь», а писарь, записывая фамилию, зафиксировал именно то, что слышал, без оглядки на литературную норму. Такое бывает часто: фамилии в документах XVII–XIX веков писались со слуха, и орфография могла сильно отличаться от привычной нам.

По словообразовательной модели фамилия Богытарёва — типичная русская фамилия на -ёв, которая указывает на принадлежность: «чей?» — «Богытарёв», то есть сын или потомок Богытаря. Мужская форма — Богытарёв, женская — Богытарёва. Суффикс -ёв (а не -ов) здесь закономерен: основа оканчивается на мягкий согласный «рь», поэтому ударение падает на последний слог.

Что касается прозвища Богатырь (или Богытарь), то в старину оно не обязательно означало физическую силу. Прозвище могли дать за высокий рост, крепкое телосложение, удаль или за то, что человек носил оружие, служил в стороже или был заметен в бою. В новгородских и псковских писцовых книгах XV–XVI веков встречаются крестьяне и посадские с прозвищем Богатырь, и это указывает на то, что фамилия не была дворянской — её носители происходили из крестьянской или мещанской среды.

Географически фамилия Богытарёва встречается редко, и её ареал, скорее всего, привязан к югу России или к регионам с сильным акающим говором. Если искать однокоренные фамилии, то рядом окажутся Богатырёв, Богатырёвский, Богатырчук, но вариант с «ы» стоит особняком — он хранит подлинное народное произношение, которое позже было вытеснено книжным.

Таким образом, фамилия Богытарёва — это не ошибка и не искажение, а живое свидетельство того, как слово «богатырь» звучало в русской деревне триста лет назад, и как это звучание закрепилось в родовом имени.