Фамилия Бологанский — одна из тех, что сразу выдают географическое происхождение своего носителя. Её основа, суффикс и модель образования указывают на связь с конкретным местом. Это типичная «топонимическая» фамилия, то есть образованная от названия населённого пункта. В данном случае в основе почти наверняка лежит название села, деревни или местечка Бологаны (или близкий по звучанию топоним). Суффикс -ский в таких фамилиях обычно означает «родом из» или «владеющий», так что первый Бологанский — это человек, который либо жил в Бологанах, либо получил земли с таким названием.

Где искать эти Бологаны? Скорее всего, на западе или юго-западе исторической России. Подобные названия встречаются в Беларуси и на Украине. Есть, например, село Бологаны в Одесской области Украины. Также существует молдавская фамилия Бологан, от которой форма Бологанский могла возникнуть как русифицированный или «дворянский» вариант. В этом случае фамилия указывала бы на потомка человека по прозвищу Бологан, а уже тот, в свою очередь, мог получить прозвище от названия места.

Интересная деталь: фамилия не частотна и не относится к числу массовых русских фамилий. Это говорит о том, что её носители, вероятно, происходят из одного локального гнезда — семьи, которая когда-то покинула одно небольшое село и разъехалась по разным городам. В отличие от фамилий на -ов/-ин, которые охватывают миллионы людей, Бологанские — это более узкая, «штучная» группа, что делает происхождение более прозрачным.

Если копнуть глубже, корень «болог» в славянских языках может быть связан со словом «болого» — «благо, добро» (ср. город Бологое). Однако в контексте топонима Бологаны это маловероятно: скорее всего, название произошло от личного имени или прозвища Бологан, которое, в свою очередь, могло означать «толстяк» или «увалень» (от диалектного «бологан» — «колода, чурбан»). Но повторюсь, главная версия — географическая, и она самая прямая.