Фамилия Боргузи — редкая, и её происхождение приходится восстанавливать по косвенным данным, поскольку в классических русских ономастических словарях (Унбегаун, Никонов) она не фиксируется. Скорее всего, перед нами не исконно русская, а заимствованная или искусственно образованная фамилия, либо фамилия с нетипичным для русского языка суффиксом.

Первый и самый вероятный путь — географический. Основа «Боргуз» может восходить к топониму. В Поволжье и Приуралье известен топоним Боргуз (например, село Боргуз в Башкортостане или река с похожим названием). В таком случае фамилия Боргузи образована по модели, характерной для тюркских языков: окончание -и указывает на принадлежность к роду или местности (сравните: казанлы — из Казани, тау — гора, таулы — горный). Предок носителя такой фамилии мог быть выходцем из селения Боргуз, и его прозвали «Боргузский» или «Боргузли», что в русской передаче закрепилось как Боргузи.

Второй вариант — антропонимический, но менее обоснованный. В некоторых тюркских языках «боргуз» может означать «крикун», «горлопан» (от глагола «боргу» — кричать, вопить). Прозвище Боргуз могли дать человеку с громким голосом, задире или глашатаю. Фамилия на -и в таком случае — застывшая форма родительного падежа множественного числа (из рода Боргузов), что встречается в украинской и белорусской ономастике, но для тюркского корня это маловероятно.

Третья, совсем гипотетическая версия — искажение при записи. Фамилия могла изначально звучать как Боргузин или Боргузов, но в документах (например, при переписи крестьян в XIX веке) её сократили или записали на слух как Боргузи. Однако такие случаи единичны и не образуют закономерности.

Итог: с высокой вероятностью фамилия Боргузи — тюркского происхождения, указывает на место жительства предка (выходец из местности Боргуз) и бытует преимущественно в регионах Поволжья и Урала. Версия с прозвищем «крикун» возможна, но слабее подкреплена типологией фамилий на -и.