Фамилия Босченко образована по типичной для украинских и южнорусских фамилий модели — от прозвища, имени или профессии с помощью суффикса -енко. Этот суффикс, один из самых распространённых в украинской ономастике, означает «сын» или «потомок»: Босченко — буквально «сын Боска» или «сын Боська».

Основа фамилии — Бос(ь)ко. Здесь возможны два основных варианта происхождения, и оба ведут к прозвищу. Первый: от прилагательного «босой» (человек, ходящий без обуви) с уменьшительным суффиксом -к(о). В старину прозвище Босой или Босько давали либо бедняку, у которого не было сапог, либо человеку, который по какой-то привычке или работе часто ходил босиком. Второй вариант: основа могла произойти от нецерковного имени Бос, которое встречалось в древнерусской антропонимии. Словарь Веселовского упоминает прозвище Босой в новгородских и московских землях, а в украинской традиции уменьшительная форма Босько легко превращалась в фамилию.

Менее вероятный, но упоминаемый в некоторых источниках вариант — связь с польским словом boski («божеский»). Однако для украинской фамилии с суффиксом -енко такое происхождение нетипично: форма Босько слишком бытовая для божественного эпитета. Скорее всего, перед нами именно прозвище по внешнему виду или поведению.

Географически фамилия Босченко тяготеет к восточной Украине и прилегающим областям России (Курская, Белгородская, Воронежская области). Там фамилии на -енко особенно массово закрепились в XVII–XVIII веках, когда казацкие и крестьянские роды получали официальные фамилии по отцу. В сословном плане предки Босченко — скорее всего, не дворяне, а казаки или государственные крестьяне: прозвище «босой» редко давали богатому человеку.

Фамилия не слишком редкая, но и не распространённая повсеместно. Её особенность — в том, что она сохранила исходную уменьшительную форму основы, а не перешла в более привычный для русского уха вариант Босов или Босин. В написании встречается вариант Бощенко (с заменой -сч- на -щ-), но это уже искажение, не меняющее этимологии.