Фамилия Бряунис — редкий случай, когда литовская основа закрепилась в русском фамильном фонде. Она образована от балтийского корня braun-, который в литовском и латышском языках связан с цветом: braunas означает «коричневый», «бурый». Типичный литовский суффикс -ис (в оригинале -is) указывает на принадлежность или прозвищный характер: Бряунис — это буквально «коричневый», «бурый человек». В славянской среде такой суффикс нехарактерен, поэтому фамилия почти наверняка имеет литовское или жемайтийское происхождение.

Фамилия могла возникнуть как прозвище по цвету волос, кожи или одежды. В литовской антропонимии цветовые прозвища — обычное дело (ср. Juodis — «чёрный», Baltis — «белый»), и Бряунис встаёт в тот же ряд. Поскольку Литва веками входила в состав Речи Посполитой, а затем Российской империи, носители фамилии могли оказаться на территории современной Беларуси, западной России или Украины — именно там часто встречаются литовские по происхождению фамилии с окончанием -ис.

С точки зрения словообразования, модель простая: корень Braun- + суффикс -is, образующий существительное со значением лица по признаку. В русском языке окончание превратилось в -ис (вместо литовского -is), что типично для русификации литовских фамилий. Интересно, что в литовском языке слово braunė существует, но означает «бровь», однако прозвище «Бряунис» вряд ли связано с бровями — скорее, это диалектный вариант того же цветового корня.

Сословно фамилия не привязана к знатному роду: скорее всего, её носили крестьяне или мещане из бывшего Великого княжества Литовского. В метрических книгах XIX века такие фамилии встречаются в Ковенской, Виленской и Гродненской губерниях. Если искать однокоренные фамилии, то в Литве есть Braunė и Braunaitė, а в польском варианте — Braunis. В России фамилия остаётся крайне редкой: по открытым данным, в современной РФ насчитывается не более нескольких десятков носителей, и почти все они сосредоточены в Калининградской области и на северо-западе страны.