Фамилия Будивская — женская форма фамилии Будивский, и её происхождение стоит искать в двух направлениях: географическом и прозвищном. Первое и самое вероятное: фамилия образована от названия населённого пункта вроде Будив, Будива или Будивка. Такие топонимы встречаются в западнорусских и украинских землях, особенно на Волыни и в Галиции. Суффикс -ск- типичен для польской и западнорусской шляхетской модели: им обозначали принадлежность к месту, откуда человек родом. Так что предок носительницы фамилии мог быть помещиком или жителем села Будив, а сама фамилия — указанием на «того, кто из Будива».

Вторая версия отталкивается от корня «буд-», который в древнерусском и украинском языках означал «будить», «пробуждать», а также «строить» (от «будувати»). Прозвище Будило или Будив могли дать человеку, который рано вставал, будил других на работу, либо, что реже, строителю. Однако в этом случае мы бы ждали фамилию Будилов или Будивский без суффикса -ск- как основного. Форма на -ский всё-таки сильнее привязывает к месту, чем к личному качеству.

С точки зрения словообразования, фамилия редкая: суффикс -ив-ск- указывает на притяжательное прилагательное от имени или прозвища с основой на -ив (как Будив, Грив, Снив). В русской ономастике такая модель встречается реже, чем -ов-ск- или -ин-ск-, и характерна скорее для украинского ареала. Б. Унбегаун в «Русских фамилиях» отмечал, что фамилии на -ский с корнем, оканчивающимся на -ив, часто имеют топонимическое происхождение.

Социальный контекст тоже важен: в XIX веке фамилии на -ский/-ская в основном носили дворяне, духовенство и мещане западных губерний. Будивская могла принадлежать к мелкопоместной шляхте или к семьям, получившим фамилию по месту службы или жительства. Массового распространения фамилия не получила — сегодня она встречается единично, преимущественно в Украине и среди потомков эмигрантов.

Спорных версий, по сути, нет: корень «буд-» слишком многозначен, чтобы цепляться за одну трактовку, но географическая остаётся основной. Если у вас есть семейное предание о конкретном селе Будив или Будивка — скорее всего, оно и есть ключ.