Фамилия Бурёшкина — женская форма фамилии Бурёшкин, и её происхождение стоит искать в мужском прозвище или имени. Основа здесь — «бурёшка», но сразу оговоримся: в литературном русском языке такого слова нет. Это диалектное или просторечное образование от слова «бурый», которое в говорах могло означать нечто серо-коричневое, грязноватое или, наоборот, рыжеватое.

Самая прямая версия — прозвище по масти или цвету волос. «Бурёшка» — уменьшительное от «бурый», как «серёжка» от «серый». Так могли назвать человека с бурыми, рыжеватыми волосами или, реже, смуглой кожей. В северных и сибирских говорах «бурой» называли также корову бурой масти, и прозвище могло закрепиться за пастухом или владельцем такой скотины. Но это скорее догадка, чем твёрдый факт.

Менее вероятный, но возможный вариант — связь с глаголом «буреть» (становиться бурым) или с названием бурого железняка (руды). Если предок был рудокопом или работал с охрой, его могли прозвать Бурей или Бурёшкой. Однако такая версия требует дополнительных краеведческих подтверждений, которых пока нет.

Суффикс «-ин» указывает на принадлежность: «чей сын?» — Бурёшкин. Модель типична для русских фамилий, образованных от прозвищ на «-а», «-я». Ударение в фамилии падает на «ё», что характерно для северных и центральных говоров, где «ё» произносится отчётливо.

Сравните с однокоренными фамилиями Буров, Бурый, Буреев. Бурёшкин стоит особняком из-за уменьшительного суффикса «-шк-», который придаёт прозвищу ласкательный или уменьшительный оттенок. Это могло означать, что прозвище дали не взрослому мужчине, а подростку или молодому парню — «бурёшка» как «маленький бурый». Со временем прозвище закрепилось за родом.

Фамилия редкая, в списках частотных русских фамилий не значится. Встречается в основном в центральных областях России и на Урале. Точно определить сословие предков сложно: прозвищный тип фамилии мог возникнуть и в крестьянской, и в мещанской среде.

Итог: Бурёшкина — фамилия от прозвища по внешнему признаку (бурый цвет), с уменьшительным суффиксом, указывающая на молодого или невысокого человека.