Фамилия Бурёшкин — редкий случай, когда прозвище, лёгшее в основу, почти полностью вытеснило церковное имя, и мы можем довольно уверенно говорить о характере или привычке первого носителя. Разбираем её по составу: корень «бур-» (от «бурый»), суффикс «-ёшк-» (уменьшительно-ласкательный или пренебрежительный) и фамильный суффикс «-ин», указывающий на принадлежность: «сын Бурёшки».

Основа здесь — не имя, а прозвище Бурёшка. В русских говорах «бурый» означало не только цвет, но и «смуглый», «загорелый до черноты», а также «дикий», «упрямый» (отсюда «буреть» — упрямиться). Бурёшкой могли назвать человека с тёмными волосами и кожей, либо, что правдоподобнее, угрюмого и несговорчивого. Суффикс «-ёшк-» (как в «Ванёшка», «Петёшка») придаёт прозвищу оттенок фамильярности, почти домашнего обращения — так могли кликать в кругу семьи или в небольшой деревенской общине.

Модель образования «прозвище + -ин» типична для северных и центральных регионов России, особенно для Вологодчины, Архангельской и Костромской губерний. Там же, кстати, слово «бурёшка» могло иметь и другое значение — так называли корову бурой масти. Но маловероятно, что фамилию дали по кличке скотины: в ономастике принято считать, что прозвища людей происходят от названий животных лишь в тех случаях, когда человек сам походил на это животное (например, «Бык» — сильный, «Лиса» — хитрый). Прямое заимствование клички коровы в качестве фамилии — случай почти невозможный.

В словаре Б. Унбегауна «Русские фамилии» находим подтверждение: фамилии на «-ёшкин» (Ванёшкин, Петёшкин, Бурёшкин) произведены от уменьшительных форм имён или прозвищ. В данном случае перед нами именно прозвищная модель, а не производная от крестильного имени. Аналог — фамилия Бурыкин, но с другим суффиксом.

Фамилия редкая, недворянская, её носители в XIX веке — почти поголовно крестьяне и мещане. Встречается в переписях Вятской губернии и в некоторых списках однодворцев южных уездов (что говорит о миграции). Если вы Бурёшкин, то ваш предок, скорее всего, был человеком тёмноволосым, хмурым или просто получил прозвище от соседей за неуступчивый нрав — и прозвище это прижилось настолько, что стало родовым именем.