Фамилия Буяджи — редкий для России случай, когда фамилия не славянского, а тюркского происхождения, причем образована она не от имени или прозвища, а напрямую от названия профессии. В основе лежит турецкое слово «büyücü» (читается как «бюйюджю»), что означает «колдун», «волшебник» или «знахарь». В некоторых тюркских языках, включая гагаузский и крымскотатарский, слово «буяджи» могло обозначать не столько злого мага, сколько народного целителя, заклинателя или человека, владеющего тайными обрядами. Таким образом, первый носитель фамилии, скорее всего, был человеком, к которому в деревне ходили за приворотами, снятием сглаза или лечением травами.

По своему строению фамилия является «чистой» основой, без славянских суффиксов -ов, -ин или -ский. Это говорит о том, что она закрепилась в русском языке поздно, вероятно, в XIX — начале XX века, когда записывали фамилии по национальному образцу, не русифицируя их. Носители Буяджи в России — это почти наверняка потомки тюркских народов, которые жили в Крыму, на Северном Кавказе, в Бессарабии (гагаузы) или в Закавказье. Встречается фамилия и у болгар (влияние турецкого языка в Османской империи), и у греков-понтийцев, где «буяджи» тоже означало колдуна.

Интересно, что в русском быту фамилия могла получить ироничный или пренебрежительный оттенок, так как слово «буядить» (от «буйный») звучит похоже, но не имеет к ней отношения. Однако этимологически корень здесь именно магический, а не связанный с буйством характера. Встречаются варианты написания: Буяджиев, Буяджян (армянизированная форма) и просто Буяджи. Если ваши предки носили эту фамилию, они, скорее всего, были не крестьянами-землепашцами, а людьми, занимавшими особое положение в общине — страхами и уважением одновременно.