Фамилия Бядаев — редкий случай, когда корень слова почти не меняется, а суффиксальная часть выдает географию. Она образована по типичной восточнославянской модели с суффиксом -ев, который указывает на принадлежность: «чей?» — Бядаев, то есть сын или потомок человека по прозвищу Бяда. Основа здесь — «бяда», диалектная или просторечная форма слова «беда». В северных и сибирских говорах, а также в белорусском и украинском языках «бяда» — обычное произношение. Прозвище Бяда могли дать человеку, который постоянно попадал в неприятности, был неудачливым, или, наоборот, тому, кто приносил хлопоты окружающим. В русской ономастике такие прозвища от абстрактных понятий не редкость: ср. фамилии Беда, Бедов, Бедняков.

Версия о происхождении от тюркского корня (например, от башкирского или татарского слова со значением «мальчик» или «младший») существует, но менее убедительна. Фонетически «бяда» — чисто славянское акающее произношение, а суффикс -ев типичен для русских фамилий, образованных от прозвищ. Если бы корень был тюркским, фамилия скорее выглядела бы как Бядаев (с тем же суффиксом), но тогда искать значение пришлось бы в другом языке. Однако массовых примеров такой фамилии у тюркских народов нет, а в русских переписях она встречается, пусть и редко.

Географически фамилия Бядаев тяготеет к регионам, где было сильно влияние севернорусского говора: Вологодская, Архангельская области, а также к Уралу и Сибири — зонам позднего заселения выходцами из этих мест. Встречается она и у казаков, где прозвища часто были хлесткими и прямыми. Социальный состав носителей, судя по архивным данным XIX века, — в основном крестьяне и мещане. Дворянских родов с такой фамилией не зафиксировано, что косвенно подтверждает ее прозвищное, а не именное происхождение.

Особенность написания — твердый знак в конце (Бядаевъ) в дореволюционных документах — не меняет сути. В современном русском языке фамилия склоняется стандартно: Бядаева, Бядаеву. Поскольку фамилия редкая, ее носители, скорее всего, связаны отдаленным родством, хотя прямых генеалогических ветвей никто не сводил. Если вы ищете предков, стоит обратить внимание на метрические книги Вологодской губернии и записи о переселенцах в Сибирь.