Фамилия Бадаев — не из тех, что упираются в единственную версию. Спор о её происхождении идёт как минимум между тремя разными корнями, и каждый по-своему убедителен. Главное, что их объединяет: фамилия образована по стандартной русской модели с суффиксом -ев, который присоединяется к основе, оканчивающейся на мягкий согласный или йот. То есть в основе лежит либо имя, либо прозвище Бадай, либо топоним Бадай.

Самый прямой путь — от мусульманского имени Бади. В переводе с арабского оно значит «главный», «первый». Такое имя часто давали первенцу-мальчику, подчёркивая его старшинство и особое положение в семье. В русской среде имя адаптировалось в форму Бадай (с характерным для тюркских заимствований переходом «и» в «а»), а от неё уже пошла фамилия. Эта версия кажется самой простой и распространённой, особенно если учесть, что фамилия встречается у народов Поволжья и Кавказа, где арабские имена были обычным делом.

Вторая гипотеза привязывает фамилию к конкретному месту — деревне Бадай в Иркутской области, на реке Белой. Поселение известно с 1682 года как вотчина Иркутского Вознесенского монастыря. К 1774 году в нём насчитывалось 85 дворов и 644 жителя. Некоторые исследователи выводят название деревни из словосочетания «Бог дай» — то есть просьбы о благополучии. Если предки Бадаевых жили в этих краях или переселились оттуда, фамилия могла закрепиться за ними по месту жительства. Случай не уникальный: в Сибири много фамилий, образованных от названий окрестных сёл и заимок.

Третья версия — бытовая. Прозвище Бадай в старину давали шаловливому, озорному ребёнку. Слово «бадай» в некоторых русских говорах означало «баловник», «проказник». Если человек получал такое прозвище в детстве, оно могло закрепиться за ним на всю жизнь и перейти к потомкам уже как фамилия. Эта версия менее документирована, но вполне правдоподобна: прозвищные фамилии по характеру — один из самых частых типов в русской ономастике.

Что касается реальных носителей, то самый известный — Семён Иванович Бадаев (1778–1847), русский металлург. Будучи крепостным, в 1808 году он разработал новые способы выделки стали, настолько важные, что правительство выкупило его у владельца, дало вольную и наградило медалью. Это редкий случай, когда фамилия простого мастера вошла в историю не благодаря знатности, а благодаря изобретению.