Фамилия Бадашев образована от прозвища или имени Бадаш. Большинство фамилий на -ев в русской традиции — притяжательные прилагательные, отвечающие на вопрос «чей?»: Бадашев буквально означает «сын Бадаша». Вопрос в том, что скрывается за основой.

Самое прямое и, вероятно, самое распространённое объяснение: Бадаш — прозвище озорника, шалуна. В старину такое могли дать непоседливому или проказливому человеку, и фамилия закрепилась за его детьми уже безо всякой оценки, просто как родовое имя.

Однако диалектная лексика добавляет объёма. В тверских говорах «бадаш» — это банная шайка, деревянная посудина для воды. В новгородских — игрушка. Если прозвище пошло от этих значений, то оно могло указывать на ремесло предка (бондаря, делавшего шайки) или на его манеру поведения (человек лёгкий, как игрушка). Оба варианта лингвистически состоятельны.

Иная версия ведёт на восток. Бадаш — это русская адаптация тюркско-татарского имени Бадак, которое переводят как «высокообразованный», «учёный». В этом случае фамилия не прозвищная, а патронимическая: предок звался Бадашем, а корень имени указывал на его учёность или уважение к знанию. С учётом того, что суффикс -ев типичен для фамилий, возникших в среде, испытавшей тюркское влияние, эта версия ничуть не слабее прозвищной.

Словообразовательная модель простая: основа Бадаш- плюс суффикс -ев. Ударение, скорее всего, падает на второй слог: Бада́шев, хотя в бытовой речи встречаются варианты. Фамилия нередкая, встречается в Поволжье и на Урале, что косвенно подтверждает и русское диалектное, и татарское происхождение.

Какой из трёх путей верный для конкретной семьи, без генеалогического исследования не скажешь. Но все они ведут к одному: Бадашевы — это потомки человека, которого в своё время выделили особым именем или прозвищем, и это имя сохранилось в фамилии.