Фамилия Бадаш — редкий пример, где почти каждая буква может вести к разной этимологии. В русском ономастиконе она не частотна, и это как раз тот случай, когда географический разброс подсказывает несколько независимых корней.

Проще всего объяснить фамилию через тюркские языки. В них основа «бадаш» или «бадаш» нередко означает «близнец», «двойня». Прозвище Бадаш могли дать одному из двойняшек, чтобы отличать его от брата или сестры в быту. Такая модель характерна для татарских, башкирских, чувашских фамилий, где суффикс -ш часто образует прозвища от прилагательных и числительных. Если предки носителя фамилии происходят из Поволжья или Приуралья, эта версия — самая рабочая.

Но есть и другой путь — из венгерского языка. В Венгрии слово «badacska» имеет значение «маленький, невысокий», а «badar» — «болтун, пустомеля». В Закарпатье, где веками жили венгры, украинцы и русины, фамилия Бадаш могла возникнуть как прозвище либо по росту, либо по говорливости. При этом суффикс -аш в украинской и польской антропонимии типичен для прозвищ (сравните: Балаш, Богдаш), так что в западных регионах фамилия могла оформиться и без прямого венгерского заимствования, просто по словообразовательной модели.

Третья версия — от имени собственного. Бадаш могло быть производной формой крестильного имени Вадим или Вадим (в просторечии Вадя). Усечение и добавление суффикса -аш — обычный способ образования домашних имён в русской деревне: Вадя → Вадаш, а с оглушением начального согласного — Бадаш. Эта гипотеза слабее тюркской, но возможна, если фамилия встречается в исконно русских областях, где тюркское влияние минимально.

Словообразовательный разбор показывает, что фамилия бессуффиксная по современным меркам: основа Бадаш- плюс нулевое окончание. Формы на -ов или -ин у этой фамилии не зафиксированы, что указывает на её позднее закрепление или на то, что она бытовала в среде, где патронимический суффикс был необязателен — например, у крестьян западных губерний или у тюркских народов, где фамилии часто оканчивались на согласный.

Встречаемость фамилии невысокая, но стабильная: Бадаши есть в Закарпатье, в Татарстане, в Башкортостане и единично в центральных областях России. В украинских переписях XIX века фамилия иногда записывалась как «Бадаш» без мягкого знака, что подтверждает её тюркскую или венгерскую огласовку.

Если ваш род происходит с востока — скорее всего, предок был одним из двойни и получил прозвище по этому признаку. Если с запада — прозвище могли дать за малорослость или болтливость. В любом случае, фамилия Бадаш обошлась без дворянских приставок и сложных суффиксов, оставаясь коротким и звонким свидетельством личного качества или семейной истории.