Фамилия Бяшина — женская форма фамилии Бяшин, и её происхождение напрямую связано с мужской основой. Разбирать Бяшина стоит именно через неё: сначала понять, что такое «Бяша» или «Бяш».

Самая вероятная версия — фамилия образована от прозвища или мирского имени Бяша. В русских говорах слово «бяша» или «бяшка» означало овцу, ягнёнка (часто в детской речи, как «баю-бай» и «бяша» — звукоподражательное). Прозвище Бяша могли дать человеку кроткого, безобидного нрава, похожего на ягнёнка, либо, напротив, с иронией — тому, кто был упрям или блеял голосом. Такие прозвища по домашним животным — обычное дело в русской антропонимии (ср. Козлов, Баранов, Овечкин), но Бяшин стоит особняком из-за редкой основы.

Менее распространённая, но возможная версия — связь с тюркскими корнями. В башкирском и татарском языках есть имя Биаш или Бяш (варианты от Бикбаш — «главный, старший»). Если фамилия встречается в Поволжье или на Урале, она могла возникнуть у крещёных татар или башкир как русифицированная форма от Биашев. Тогда суффикс -ин указывает на принадлежность: «чей?» — Бяшин, сын Бяши.

Фамилия редкая, географически не привязана к одному региону. Встречается в центральной России, но единично. В дореволюционных источниках носители Бяшины могли быть крестьянами или мещанами — фамилия не дворянская, суффикс -ин типичен для простонародных фамилий, образованных от прозвищ на -а/-я.

Словообразовательная модель проста: основа Бяш- + суффикс -ин (указывает на родство или принадлежность). Ударение, скорее всего, падает на первый слог: Бя́шин, Бя́шина. Вариант с ударением на второй слог (Бяши́н) возможен, но менее органичен для русской фонетики.

Если ваши предки носили эту фамилию, стоит искать корни в прозвище, связанном с характером или внешностью, и не исключать восточные влияния, особенно если семья родом с юго-востока европейской части России.