Фамилия Быбицына — женская форма фамилии Быбицын, и чтобы понять её происхождение, нужно разобрать мужской вариант. Это классическая русская фамилия, образованная по модели «прозвище + суффикс принадлежности -ин». Суффикс -ин указывает на то, что основа фамилии — слово, оканчивающееся на -а или -я (в отличие от фамилий на -ов/-ев, которые крепятся к основам на согласный). В данном случае основа — «Быбица».

Что такое «Быбица»? Это, скорее всего, прозвище. В русских говорах слово «быбка» (или «быба») могло означать нечто вздутое, выпуклое, шишку. Соответственно, «Быбица» — это человек с какой-то заметной особенностью внешности: например, с шишкой на теле, с выпуклым лбом или просто полный, «надутый». Есть и другая, менее вероятная версия: «быбица» могло быть диалектным вариантом слова «бабица» (женщина, баба) с характерным для некоторых говоров переходом «а» в «ы» после твёрдых согласных. Но это спорно, так как для фамилий чаще берут прозвища, а не прямые обозначения родства.

Фамилия Быбицын — редкая. Она не упоминается в классических работах Б. Унбегауна или В. Никонова как массовая, что говорит о её локальном, возможно, даже единичном происхождении. Скорее всего, предок носителя фамилии получил прозвище Быбица в одной конкретной деревне или волости, и фамилия так и осталась «привязанной» к этому роду, не распространившись широко. Географически такие фамилии чаще встречаются в северных и центральных регионах России, где диалектная лексика была разнообразнее, а суффикс -ица в прозвищах — обычным делом.

Таким образом, Быбицын (и Быбицына) — это «сын (или дочь) Быбицы», то есть потомок человека, которого прозвали за внешнюю примету. Фамилия не дворянская и не крестьянская в строгом сословном смысле — она из народной среды, где прозвища давали метко и на всю жизнь.