Фамилия Бывол — редкий случай, когда в основе лежит не имя, не профессия и не географическое название, а прозвище, образованное от глагольной формы. Скорее всего, перед нами усечённая основа от слова «бывать» или «быть». Человек, которого в старину прозвали Бывол, мог получить это прозвище за привычку часто отсутствовать, «бывать в отлучках», или, наоборот, за то, что он постоянно «бывал» в каких-то определённых местах — например, на ярмарках, в походах или на сходках. В русских говорах глагол «бывать» имел и значение «случаться, происходить», так что прозвище могло закрепиться за человеком, с которым часто что-то происходило, либо за тем, кто любил рассказывать о разных происшествиях.

Словообразовательная модель здесь нестандартная. Обычно русские фамилии на -ов образуются от существительных (Кузнец — Кузнецов) или от притяжательных прилагательных (Иван — Иванов). В случае Бывол мы видим основу, совпадающую с формой 1-го лица единственного числа настоящего времени: «я бываю» → «бываю» → усечение до «быва» → прозвище Бывал → фамилия Бывалов. Однако форма Бывол короче: это могло быть либо усечение по типу народной этимологии (от «бывал» отбросили конечное -л, восприняв его как суффикс), либо самостоятельное прозвище от того же корня, но с другим суффиксом. В любом случае, финаль -ол встречается в русских прозвищах редко, что делает фамилию морфологически примечательной.

География фамилии неширокая. По данным современных телефонных справочников, Быволы встречаются в основном в центральной России и на юге — в Воронежской, Ростовской областях, а также в Краснодарском крае. Это косвенно указывает на южнорусское или украинское влияние: в украинском языке форма «бував» — «бывал» — более употребительна, чем в литературном русском, и могла дать прозвище Бувал, которое при русификации превратилось в Бывол.

Вторая, менее вероятная версия связывает фамилию с названием животного «бык» через диалектное искажение. В некоторых говорах «бывол» могли называть буйвола — домашнее животное, распространённое на Кавказе и в южных губерниях. Если предок был пастухом или владельцем буйволов, прозвище Бывол могло закрепиться за ним по роду занятий. Однако эта гипотеза слабее: переход «буйвол» → «бывол» возможен, но для фамилии на -ов обычно требовалось бы притяжательное прилагательное «Быволов» (чей? — быволов), а форма Бывол как прозвище без суффикса встречается реже.

Фамилия Бывол не относится к дворянским — её носители, судя по всему, были крестьянами или посадскими людьми. В дореволюционных метрических книгах она почти не встречается, что говорит о её локальном и малочисленном бытовании. Для человека, ищущего свои корни, это хороший знак: редкая фамилия часто указывает на компактный регион происхождения, что упрощает поиск предков. Если ваши Быволы родом из одной области, велика вероятность, что все они восходят к одному носителю прозвища, жившему в XVII–XVIII веках.