Фамилия Бжигаков — редкая и территориально привязанная. Её основа, суффикс и ареал бытования указывают на Северный Кавказ, скорее всего, на адыгскую или карачаево-балкарскую среду. Разберёмся по порядку.

Ключ к пониманию — корень «бжыгъэ» (или «бжигъэ») в адыгских языках (кабардино-черкесском, адыгейском). Он означает «число» или «счёт». Прямое значение — «счётчик», «тот, кто считает». В традиционном обществе это могло быть прозвище человека, который вёл учёт скота, урожая или налогов, либо просто меткого, расчётливого по характеру человека. Менее вероятна, но возможна связь с диалектным «бжы» — «рог» (например, рогатый скот), но тогда форма была бы иной.

Суффикс «-ов» в данном случае — типичный русский патронимический формант, который «обрусел» фамилию при записи в российские документы XIX — начала XX века. Исходная адыгская фамилия, скорее всего, звучала как Бжигъэ (без окончания) или имела адыгский суффикс принадлежности (например, -рэ, -къуэ). Приставка «Бжигак-» могла возникнуть из более полной формы «Бжигъэкъуэ» (буквально «сын счётчика»), где «къуэ» — «сын», а затем, при русификации, отпало окончание, и добавилось русское «-ов».

Географически фамилия встречается в Кабардино-Балкарии, Карачаево-Черкесии и среди адыгской диаспоры. Носители — потомки людей, получивших прозвище по роду занятий или особенности характера. Никаких данных о дворянском происхождении или принадлежности к казачеству нет — это фамилия горского крестьянского или узденского (свободного общинника) сословия.

В русском языке фамилия сохранила редкое сочетание «бж», что сразу выдает её иноязычное происхождение. При склонении действуют стандартные правила: Бжигаков, Бжигакова, Бжигакову. Однокоренных фамилий в русском ономастиконе практически нет, что подчёркивает её локальный характер.