Фамилия Чаврикова — женская форма фамилии Чавриков, а та, в свою очередь, образована от прозвища или нецерковного имени Чаврик. Разбирать её стоит не с корня, а с суффикса: -ов указывает на принадлежность к отцу или главе семьи (буквально «сын/дочь Чаврика»). Такая модель — самая распространённая в русских фамилиях, но здесь она накладывается на редкую основу.

Корень «чавр-» — тёмный и неоднозначный. В русских говорах слово «чавра» встречается в двух значениях: во-первых, так могли называть гнусавого, картавого или невнятно говорящего человека (от глагола «чаврить» — говорить неразборчиво, гнусавить). Во-вторых, в некоторых областях «чавра» — это мелкая рыбёшка, вроде уклейки или пескаря (сравните с диалектным «чавруша»). Обе версии имеют право на жизнь, но первая — про манеру речи — встречается в ономастических работах чаще, поскольку прозвища по физическим особенностям давали очень активно.

Есть и более прозаичное объяснение: Чаврик могло быть уменьшительной формой от крестильного имени Чавр, которое в свою очередь является народной переделкой греческого имени Панкратий (через форму Панкрат → Панчар → Чавр). Такие цепочки упрощения имён — обычное дело для русской антропонимии, хотя для фамилии Чавриков эта версия менее популярна, чем прозвищная.

Географически фамилия Чавриков/Чаврикова тяготеет к южнорусским и центральным областям — её фиксируют в документах Курской, Воронежской и Тульской губерний. Встречается она нечасто, что неудивительно для фамилии от редкого прозвища. Однокоренных фамилий мало: Чаврин, Чавруков, Чавров — и все они тоже редкие.

Если коротко: предок носительницы этой фамилии, скорее всего, получил прозвище Чаврик за невнятную речь или гнусавый голос, а потомки стали Чавриковыми. Никакого тайного дворянского смысла или благородного корня здесь нет — обычная крестьянская или мещанская фамилия, каких тысячи.