Фамилия Четаикина — женская форма фамилии Четаикин. Она образована по самой распространённой в русском языке модели: с помощью суффикса -ин, который указывает на принадлежность («чей?» — Четаикин, то есть сын или потомок Четаики). Основа фамилии — прозвище или неканоническое имя Четаика.

Разберём корень. Самая вероятная версия связывает его со словом «чета» — пара, ровня, супружеская пара. В старину «четой» называли супругов, а «чета» могло означать и просто «два одинаковых предмета», «двойня». Отсюда прозвище Четаика могли дать человеку, который родился в паре с кем-то (близнецом), или тому, кто был «под стать», «под пару» кому-либо по характеру или положению. Уменьшительный суффикс -ик- в основе (Чет-аик-а) придаёт прозвищу ласкательный или бытовой оттенок: так могли называть младшего члена семьи, парня или подростка.

Менее вероятна, но возможна связь с диалектным глаголом «четать» — соразмерять, соединять в пару. В этом случае прозвище Четаика мог получить сваха или человек, занимавшийся устройством браков, — «четатель». Однако эта версия слабее, так как прозвища от глаголов с таким суффиксом встречаются реже.

Фамилия редкая и, скорее всего, имеет локальное происхождение. Поскольку в основе лежит русское слово, а не тюркское или финно-угорское имя, географию бытования стоит искать в центральных и северных областях России, где были распространены прозвища от бытовой лексики. Форма на -ин указывает, что предок носителя фамилии был человеком незнатного происхождения: крестьянином, ремесленником или служилым человеком «по прибору». В дворянской среде такие фамилии на -ин тоже встречались, но реже и обычно от более «благородных» основ.

Словообразовательно фамилия Четаикин стоит в одном ряду с более известными Четвериков (от «четверо»), Четин (от «четь» — одна четвёртая), но отличается от них именно уменьшительным суффиксом, который придаёт ей «домашний», неофициальный оттенок. Возможно, изначально это было уличное прозвище, которое позже закрепилось как фамилия.

Если у вас есть дополнительные сведения — например, регион, где жили предки, или варианты написания (Четаикин/Четаикина), — это может уточнить версию. Пока что наиболее обоснованным выглядит происхождение от прозвища, данного «под стать» кому-то или по факту рождения в паре.