Фамилия Чежух — редкий случай, когда в основе лежит не имя, не профессия и не географическое название, а, скорее всего, прозвище, связанное с внешностью или манерой поведения. На первый взгляд, слово кажется иноязычным, но при разборе по составу оно укладывается в русскую словообразовательную модель.

Корень «чеж-» — нечастый, но встречающийся в русских говорах. В словаре Владимира Даля зафиксирован глагол «чежить» в значении «брезговать, гнушаться, привередничать». Отсюда «чежуха» — брезгливый, разборчивый человек, тот, кто морщится от еды или работы. В некоторых диалектах слово «чежа» означало «неженка» или «чистюля». Таким образом, прозвище Чежух мог получить либо привередливый едок, либо человек, который слишком тщательно относился к чистоте и порядку — качество не всегда поощряемое в крестьянском быту.

Фамилия образована по редкой модели: к основе «Чеж-» добавлен суффикс «-ух». Этот суффикс в русских фамилиях встречается нечасто, но он характерен для прозвищ, подчёркивающих яркую черту характера или внешности (ср. Лепёх, Скоробух, Кривуха). Фамилии на «-ух» обычно не имели окончания «-ов/-ев» и застывали в форме краткого прилагательного или существительного. Чежух — это, по сути, застывшее прозвище, которое перешло в фамилию без дополнительных родовых суффиксов.

Географически фамилия тяготеет к южнорусским и украинским землям. Встречается в Белгородской, Курской областях, а также на востоке Украины — в Харьковской и Сумской областях. Это подтверждает диалектную природу основы: именно в этих говорах слово «чежуха» могло быть в ходу. Вариант написания с «ж» (а не «ш») указывает на звонкое произношение, что тоже характерно для южнорусского наречия.

Сословного барьера у фамилии не было: прозвище Чежух могли дать как крестьянину, так и мещанину. Но из-за редкой модели и отсутствия патронимического суффикса «-ов/-ев» фамилия осталась локальной и немногочисленной. В дореволюционных переписях она почти не фигурирует, что говорит о её позднем закреплении — скорее всего, в конце XVIII — начале XIX века, когда крестьянам массово присваивали фамилии по прозвищам.

В итоге: носитель фамилии Чежух с большой вероятностью потомок человека, которого в деревне дразнили за брезгливость, чистоплотность или разборчивость. Никакой знатной или профессиональной подоплёки здесь нет — только меткое народное слово, закрепившееся в роду.