Фамилия Чирчинская — женская форма от Чирчинский, и её разумнее всего рассматривать в паре. Это фамилия «географического» типа, образованная по модели «название местности + суффикс -ский». Суффикс -ск- в русских фамилиях чаще всего указывает на связь с местом: владельческий статус (как у княжеских фамилий) или просто происхождение из конкретного села, города, урочища. Окончание -ая закрепилось за женщинами в тех случаях, когда фамилия склонялась как прилагательное (сравните: Достоевский — Достоевская).

Основа — Чирчин(а) или Чирча. Самое прямое объяснение: топоним Чирчин или Чирча. На карте России и сопредельных территорий есть несколько таких названий. Например, река Чирчин (приток Дона) и одноимённый хутор в Ростовской области. Есть село Чирча в Тверской области. Если предки Чирчинских происходили из такого места, фамилия буквально означала «из Чирчина», «с Чирчи». В этом случае фамилия «помнит» малую родину, откуда род выехал несколько столетий назад.

Вторая версия, более редкая, но не исключённая: основа от прозвища Чирча или Чирчин. В русских говорах «чиркать» — резать, чертить, бить. «Чирка» могла быть прозвищем бойкого, резкого человека или того, кто работал с чем-то острым (портной, сапожник). Однако суффикс -ский при прозвищной основе встречается реже, чем при топонимической, поэтому географическая версия правдоподобнее.

Социальный слой носителей фамилии Чирчинский/Чирчинская — чаще всего не дворянство, а духовенство или крестьяне, получившие фамилию по месту службы или жительства. В семинарской среде фамилии на -ский давали по названию села, где служил священник, или по храмовому празднику. Но Чирчинская могла возникнуть и у крестьян, когда после отмены крепостного права им присваивали фамилию по деревне.

Фамилия нечастотная. Её можно встретить в центральных областях России, на Дону и в Сибири — туда переселенцы увозили свои «географические» фамилии. Встречается и среди украинцев, где -ський (Чирчинська) — обычное окончание для фамилий-прилагательных.

Итог: скорее всего, Чирчинская — «географическая» фамилия, указывающая на происхождение из места с названием Чирчин или Чирча. Носительница этой фамилии может с большой вероятностью найти корни в Ростовской, Тверской областях или в соседних регионах, где есть такие топонимы.