Фамилия Чижатников — редкий случай, когда прозвище, лёгшее в основу, почти наверняка связано не с человеком, а с птицей. Основа здесь — «чиж», то есть небольшая певчая птица семейства вьюрковых. Модель образования проста и прозрачна: сначала от слова «чиж» образовали прозвище Чижатник, а затем к нему прибавили патронимический суффикс -ов, давший фамилию Чижатников. Суффикс -атник в прозвище указывает на занятие или пристрастие: так же, как голубятник разводит голубей, а псарь держит собак, Чижатник — это человек, который ловит чижей или держит их в клетках.

В русской традиции охота на певчих птиц была распространённым промыслом, особенно в центральных и северных губерниях. Чижей ловили силками или специальными сетями, а потом продавали на птичьих рынках или держали дома для пения. Прозвище Чижатник мог получить и завзятый птицелов, и просто обладатель клетки с чижом — в деревне такая деталь быстро становилась отличительной чертой человека.

С точки зрения словообразования, Чижатников стоит в ряду фамилий вроде Сокольников, Голубятников, Скворцов — все они образованы от названий птиц и занятий, с ними связанных. Суффикс -ов здесь стандартный, указывающий на принадлежность: «сын Чижатника». Фамилия не получила широкого распространения и остаётся локальной — вероятнее всего, её носители происходят из одной местности, где промысел был развит, либо из семьи одного конкретного Чижатника, чьё прозвище закрепилось за потомками.

Встречаются варианты написания с одной «т» — Чижаников, но это уже другая модель: от прозвища Чижан или Чижаник, что тоже возможно, но менее характерно для фамилии с отчётливым суффиксом -атник. В любом случае, Чижатников — не дворянская и не купеческая фамилия, а крестьянская или мещанская, типичная для людей, чьё ремесло или увлечение было на виду у соседей.