Фамилия Членникова — женская форма фамилии Членников, и её происхождение не связано с тем современным значением слова «член», которое первым приходит в голову. В основе фамилии лежит древнерусское слово «членъ», которое в старину означало не часть тела, а «сустав», «колено», «отрезок», «часть целого». Прозвище Членник могли дать человеку с приметной особенностью — например, с больными или хрустящими суставами, либо тому, кто был «членом» какой-нибудь общины, артели или семьи в смысле «части рода». Вторая версия, более правдоподобная с точки зрения словообразования, связывает фамилию с профессией: «членник» — это плотник или столяр, который подгонял «члены» (брёвна, доски) в срубе, делал «членения» — соединения деревянных частей. В северных говорах «член» означало также «отрубок», «чурбан», поэтому Членниковым могли прозвать дровосека или того, кто торговал короткими поленьями.

Суффикс -ов в фамилии Членников указывает на типичную модель русских фамилий XIX века: от прозвища или ремесла на -ник (Членник) прибавляли притяжательный суффикс, и получалось «сын Членника». Фамилия редкая, встречается в основном в центральных и северных областях России, особенно в старых переписях Вологодской и Архангельской губерний, где плотницкое дело было основным. В словарях русских фамилий (например, у Б. Унбегауна) она не описана отдельно, но по модели образования близка к фамилиям Плотников, Бочарников, что косвенно подтверждает ремесленную версию.

Интересно, что в дореволюционных списках иногда встречается вариант Членников с одним «н» — Члеников, что могло возникнуть из-за диалектного произношения или ошибки писаря. Но корень остаётся тем же: «член» в значении «сустав» или «часть». Если ваш предок носил эту фамилию, скорее всего, он был плотником, столяром или, реже, человеком с характерной походкой или болезнью суставов — прозвище давали по заметной черте, а не по случайному совпадению.