Фамилия Чвартацький — редкий пример, где написание сразу выдаёт польское или западноукраинское происхождение. Суффикс -цький (а не привычное русское -цкий) — верный признак того, что фамилия сложилась на территории Речи Посполитой или в землях, долго бывших под её влиянием. В русской традиции её могли бы записать как Чвартацкий, но носитель сохранил исходную форму.

Основа фамилии — чварт- (польск. czwarty, укр. чвартий — «четвёртый»). Это не имя и не ремесло, а порядковое числительное. Чаще всего такие фамилии давали по порядку рождения: Чвартацький — потомок «четвёртого» сына или четвёртого ребёнка в семье. В польской ономастике есть целый ряд подобных фамилий: Чвартек, Чвартак, Чварткевич. Форма на -цький обычно указывает на шляхетское или, как минимум, мещанское происхождение: в Польше и на западе Украины суффикс -ский/-цький часто закреплялся за владельцами земли или выходцами из определённой местности, но в данном случае он, скорее всего, просто заменил более простое -ак или -ек под влиянием моды на «благородные» окончания.

Есть и другая, менее вероятная версия: фамилия могла произойти от названия населённого пункта вроде Чвартаки или Чвартув. Но такие топонимы крайне редки, и ни один из них не получил широкой известности. Поэтому версия с прозвищем по счёту рождения — основная.

В написании встречаются варианты Чвартацкий (русифицированный) и Чвартацький (оригинальный польско-украинский). Встречаемость фамилии низкая, она сосредоточена в западных областях Украины (Львовская, Тернопольская) и среди потомков эмигрантов в Польше. В России фамилия практически не фиксируется.

Если резюмировать: предок носителя фамилии был, вероятно, четвёртым сыном в семье, а сама фамилия оформилась в среде польской или западноукраинской мелкой шляхты или зажиточных крестьян, которые со временем «подтянули» окончание под дворянский стандарт.