Фамилия Дагостино — это итальянизм, который в русском языке закрепился в неизменной форме, без адаптации через суффиксы -ов или -ин. Она не «обрусела» морфологически, а значит, её носитель, скорее всего, потомок итальянских переселенцев либо человек, чья фамилия была записана в документах на языке оригинала. Разбирать её надо через призму итальянской ономастики, а не русской словообразовательной модели.

В основе лежит личное имя Agostino — итальянский вариант латинского Augustinus («Августин», то есть «посвящённый Августу», «священный»). Приставка Da- (или De-) в итальянских фамилиях указывает на происхождение: буквально «из семьи Агостино» или «от Агостино». Чаще всего такие фамилии давали по имени отца или основателя рода, и Дагостино — типичная патронимическая фамилия, аналог русских Иванов или Петров, но с предлогом.

Географически фамилия тяготеет к югу Италии, особенно к Сицилии и Кампании. В этих регионах приставка Da- встречается чаще, чем в северных областях. Встречается и вариант D’Agostino — с апострофом, который указывает на стяжение гласных (Da Agostino > D’Agostino). Оба написания фиксируются в итальянских архивах с XIV века, но в русской передаче обычно пишут слитно, без апострофа.

В России фамилия редкая и, как правило, принадлежит потомкам итальянских специалистов (архитекторов, инженеров, художников), приезжавших в империю в XVIII–XIX веках, или более поздним мигрантам. Поскольку фамилия не склоняется по падежам в русском языке (мужская — Дагостино, женская — Дагостино), это часто создаёт трудности при заполнении документов, но именно неизменяемость и выдаёт её иноязычное происхождение.

Спорных версий здесь нет: корень очевиден, приставка прозрачна. Единственное, что может сбить с толку — попытка искать славянские корни в окончании -о, но это ложный след. Фамилия целиком итальянская, и её значение сводится к простому указанию на родство с человеком по имени Агостино.